In questo gioco affascinante chiaramente si possono avere meccanismi di bluff o comunque adatti ad essere trattati in teoria dei giochi alla von Neumann.
E' chiaro che la relazione che passa fra una strategia e un'atra se la prima batte la seconda non è transitiva, può darsi cioè che A batta B che batte C che batte D che batte A.

Una breve partita:

1.e4 (l'arbitro dice "il Bianco ha mosso", d5 (l'arbitro dice "II nero ha mosso; il Bianco ha una presa di pedone in d5")
2.e:d5 (l'arbitro dice: "ll bianco ha mosso, prendendo un pedone in d5", Ag4?! (il nero specula sul fatto che è improbabile che il Bianco indovini l'attacco alla sua donna; L'arbitro dice "Il Nero ha mosso")
3.f3! (il Bianco ha capito come sono andate le cose o meglio pensa che possano essere andate cose e del resto non sarebbe un gran guaio aver perso un tempo con 3.f3, l'arbitro dice: "il Bianco ha mosso"), Ad1 (l'arbitro dice "impossibile" e il nero pensa che, per esempio, può esserci un cavallo bianco in e2 o in f3, rinuncia al suo tentativo e gioca, diciamo, Cc6).(L'arbitro dice: "Il Nero ha mosso; il Bianco ha una presa di pedone in g4".) 4.f:g4 (l'arbitro dice: "il Bianco ha mosso e ha preso un pezzo in g4".)
Non vorrei che questo semplice esempio facesse pensare che il gioco si riduca a meschini trucchetti. Lo studio dei finali è poi affascinante, con i pezzi avversari che oscillano fra la condizione di corpuscoli e quella di onde di probabilità. Naturalmente posizioni vinte a scacchi possono essere perse o patte a scacchi invisibili e viceversa. Occorre inoltre notare che a scacchi invisibili una posizione può essere, anziché semplicemente persa, patta o vinta anche, per esempio, vinta con una certa probabilità. Ciò spiega che si debba usare la teoria dei giochi di von Neumann. La posizione: Bianco Rc5, Pc6; Nero: Rc7, dove supponiamo per semplicità che all'inizio la posizione sia nota ad ambedue i giocatori, è ovviamente patta, chiunque abbia il tratto, a scacchi ortodossi ed è invece, a scacchi invisibili, "quasi" vinta per il Bianco, nel senso che, detto in breve, il Bianco può scegliere la probabilità che vuole di vincere purché non esiga la certezza. Per meglio dire comunque preso un numero reale k minore di 1 esiste una strategia per il Bianco che gli dà probabilità maggiore di k di vincere. Ciò se si prescinde da regole del tipo "cinquanta mosse". se invece si pone un limite allora si può calcolare la miglior probabilità che, il Bianco può darsi. Supponiamo il tratto al Nero: egli ha la scelta fra i tratti 1...,kb8, 1....,Rc8, L....,Rd8. A scacchi ortodossi dovrebbe senz'altro giocare Rc8. ll Bianco giocherà 2.Rb6 o 2.Rd6, supponiamo Rb6. Se il Nero, al tratto precedente, si è posto in b8 o in d8 ora giocherà 2....,Rc8, altrimenti 2...,Rb8 o 2...,Rd8. Il Bianco naturalmente non sa a questo punto se il Re nero è in b8, in c8 o in d8. E' chiaro che se il Re nero fosse in c8 al Bianco converrebbe ora spingere il pedone ma se il Re nero fosse invece in una casa laterale (b8 o d8) questa mossa porterebbe alla patta. In ogni caso al Bianco, supposto, ricordiamo, in b6, conviene anzitutto tentare 3.Rb7. Se questa mossa è possibile il Bianco avrà vinto, altrimenti può ancora scegliere se spingere il pedone o tornarsene, diciamo, in c5 per cominciare da capo la manovra. Se non c'è limite alla lunghezza della partita al Bianco conviene ripetere la manovra senza spingere il pedone se non, diciamo, la k-esima volta che tenta. Il Nero d'altronde deve giocare al secondo tratto della manovra Rc8, altrimenti c'è una probabilità su due che il Bianco si sia posto dal lato giusto e vinca. Così facendo però, quella volta in cui il Bianco spingerà, il Nero si troverà in c8 e perderà. Perciò al Nero conviene, sembrerebbe, giocare qualche volta al secondo tratto Rb8 o Rd8 e, se lo farà per l'appunto quella volta in cui il bianco spingerà, la partita sarà patta. La probabilità di vittoria del Bianco è tanto più grande quanto maggiore è k, e anzi tende a 1 al tendere di k all'infinito, Come analizzare la situazione l'ho spiegato la prima volta nel Manuale di scacchi eterodossi di Mario Leoncini e Roberto Magari, Siena 1980, qui mi limiterò a trattare il caso in cui ci siano limiti alla lunghezza della partita e si sia giunti all'ultima possibile ripetizione della manovra. In tal caso il Bianco dovrà giocare, dopo il tentativo di avanzare il Re in settima, la spinta, vincendo se il Re nero si troverà in c8 e pattando invece se si troverà, in b8 o in d8. Che cosa deve fare il Nero? Se, al secondo tratto, gioca Rc8 il Bianco, dopo aver tentato inutilmente l'avanzata in settima, giocherà certamente la spinta, vincendo. Perciò il Nero deve in queste circostanze giocare al secondo tratto Rb8 o Rd8, pattando se il Bianco si sarà portato sulla stessa colonna e perdendo altrimenti. In questo semplice caso quindi la probabilità di vittoria del Bianco è 1/2: la posizione vale, per così dire, 3/4 di punto per il Bianco. naturalmente, se in futuro si giocheranno tornei di scacchi invisibili, converrà convenire che in questi casi i giocatori possano accordarsi, appunto, per una spartizione ineguale del punto, anche se ciò forse si presterebbe a complessi stratagemmi relativi alla classifica. Non intendo insistere ma ora saremmo in grado di esaminare la situazione alla penultima manovra tenendo presente che, per l'analisi appena fitta dell'ultima manovra, la situazione varrà 3/4 se i1 Bianco sceglierà di non osare la spinta. In corrispondenza a questa possibilità del Bianco il Nero deve naturalmente darsi una certa probabilità di giocare 2....,Rc8.
Ciò mi ricorda una mia semplice idea relativa invece agli scacchi ordinari, idea, temo, non più interessante del famoso orologio di Fischer ma in tema, come vedremo, con I'argomento che ho trattato. Anzitutto bisogna dire che le proposte di patta creano spesso qualche disturbo, tanto che il giocatore che vorrebbe proporre la patta può astersi dal farlo per non disturbare l'avversario e, al contrario, se lo fa troppo spesso in una partita può, credo, essere ammonito dall'arbitro. lnoltre dopo tutto una offerta di patta è un'informazione che si dà all'avversario circa il nostro giudizio sulla posizione. Per evitare questi inconvenienti basterebbe disporre di qualche semplice congegno equivalente, diciamo a due interruttori in serie con una spia luminosa, Ciascun giocatore dispone di un interruttore nascosto all'avversario: se lo azione egli viene a proporre la patta e la spia si accenderà se e soltanto se anche l'avversario farà la stessa cosa col suo interruttore, Ciò si presta ad una complicazione. se, anziché di interruttori, si disponesse di manopole graduate, diciamo, dallo zero al dieci e disposte in modo tale che la spia si accenda se e soltanto se la somma delle due indicazioni è inferiore al dieci potremmo proporre senza disturbare l'avversario, una spartizione del punto in parti disuguali. Io valuto, supponiamo, la mia posizione come avente tre probabilità su dieci e propongo con la mia manopola sistemata sul 3, una spartizione in cui a me tocchino tre decimi di punto e all'avversario sette. La spia si accenderà se, regolando la sua manopola, l'avversario avrà indicato di contentarsi di sette decimi di punto o meno (nel caso in cui la sua indicazione sia minore si potrebbe spartire l'eccesso in parti proporzionali. Naturalmente occorre dire, anche qui, che la faccenda si presterebbe a sottili stratagemmi per la posizione in classifica.
Supponiamo che la FIDE, come penso, non accetti quanto sopra, potrebbero egualmete due giocatori applicare l'idea di una spartizione ineguale del punto? Si, nel senso che dirò. Tutti sappiamo che in posizioni patte in cui ad ambedue i giocatori la vittoria interessi, per così dire, più del doppio della patta, molti, non fra i presenti, ricorrono alla "monetina". Ebbene, supponiamo che, a giudizio di entrambi i giocatori, una certa posizione porti con probabilità, diciamo, 4/10 alla vittoria del Bianco, con probabilità 2/10 alla vittoria del Nero e con probabilità ancora 4/10 alla patta. Se ambedue i giocatori sono interessati alla vittoria ma non alla patta, per motivi di classifica o di promozione, potrebbe convenir loro scegliere una carta fra dieci con l'intesa che le carte 1, 2, 3, 4, 5, 6 daranno la vittoria al Bianco e le carte 7, 8, 9, 10 al Nero. Naturalmente non lo propongo seriamente, non voglio essere accusato di istigazione a delinquere!