Appare assai improbabile che un qualsivoglia criterio di giudizio basato su
un numero di parametri relativamente piccolo (relativamente al numero delle
situazioni possibili) possa presentare il caso fortunato di classificare
tutte le posizioni vinte (cioè che risulterebbero vinte ad una analisi
completa) come preferibili a tutte le situazioni patte e queste come
preferibili a tutte le situazioni perse. Per ogni giocatore esisteranno
quindi coppie (A, B) di situazioni tali che A e in effetti inferiore a B
(per esempio A è patta e B vinta) ma è ritenuta superiore o equivalente a B
dal giocatore. Supponiamo ora che un giocatore, diciamo il Nero, abbia la
scelta fra due mosse che portano a due situazioni, diciamo C, D che sono
per lui perdenti e che egli giudica equivalenti e precisamente perdenti,
come sono. Tuttavia la situazione C mette il Bianco di fronte alla scelta
fra due situazioni, diciamo A, B che egli giudica equivalenti ma che non lo
sono, mentre la D mette il Bianco soltanto di fronte a possibilità che egli
giudica correttamente. Se il Nero sceglie C e il Bianco fa la scelta
sbagliata possiamo dire che il Bianco è stato "sfortunato". Il punto è
che, poiché nessun giocatore è in grado, in mancanza di un'analisi
completa, di dare giudizi sempre corretti, simili circostanze si
presentano. Naturalmente altro è dire di aver avuto fortuna o sfortuna nel
senso suddetto altro è credere a una deità più o meno maligna che
perseguiterebbe il povero giocatore. Eventuali forze maligne risiedono,
c'è, da pensare, nel giocatore stesso e sono di pertinenza dello psicologo
(che può essere, naturalmente, il giocatore stesso in vena di autoanalisi).
Trattando questi problemi si può anche tentare una definizione matematica
di "giocatore" "stile di gioco" ecc.. Una prima analisi grossolana
identifica il giocatore con una strategia, ossia con una funzione che ad
ogni posizione associa una mossa, un'analisi più fine deve vedere il
giocatore piuttosto come una funzione che ad ogni posizione e ad ogni mossa
associa un numero: la probabilità che il giocatore, in quella posizione.
giochi quella mossa. Sarà bene anche far osservare che, come conseguenza
della non analiticità dei giudizi dei giocatori, è possibile (e, tendo a
credere, probabile) che la situazione non sia transitiva, che cioè possano
darsi terne A, B, C di giocatori (o semplicemente di strategie) tali che A
batte B, B batta C e C batte A: in modo più complicato, tenendo conto delle
fluttuazioni, può essere che il punteggio "atteso" di A con B, quello di B
con C e quello di C con A siano tutti maggiori di 1/2, Ciò con buona pace
del, sia pur pregevole, punteggio E.L.O..
2. Attacco o difesa?
Mi è capitato di ascoltare parte di un resoconto calcistico: la squadra A
"conduceva" per 1 a 0 e il commentatore ritenne ovvio che la squadra B si
portasse all'attacco. Sembra più o meno ovvio anche a me che ho pochissime
e incerte nozioni di quel gioco, ma perché?. ll problema non è certo
confinato al calcio, ovviamente ogni sfida che comporti più di una partita
in un gioco a due presenta problemi analoghi: quali aperture dovevano
scegliere Kasparov e Karpov per l'ultima partita di quella loro sfida in
cui Karpov aveva 12 punti e Kasparov 11?. La questione si presta ad essere
schematizzata anche se, per avere un problema relativamente semplice e
chiaro, dovrò introdurre ipotesi semplificatici eccessive.
Supponiamo che ciascun giocatore abbia a disposizione due strategie, una "rischiosa", A, e una "tranquilla", B. Diciamo di saper assegnare le probabilità del caso quando uno adotti la X e l'altro la Y, avremo una tavola dei pagamenti come segue:
| V.Karpov | Patta | V.Kasparov | - |
| AA | P-aa | Q-aa | R-aa | - |
| BB | P-bb | Q-bb | R-bb | - |
| AB | P-ab | Q-ab | R-ab | - |
| BA | P-ba | Q-ba | R-ba | - |
| - | - | - | - | - |
Sarebbe più comodo disporre di una rappresentazione in tre dimensioni, Naturalmente la somma dei tre elementi di una stessa riga deve essere 1. Per semplificare ancora supponiamo che i due giocatori siano della stessa forza e che, se almeno uno dei due adotta la strategia rischiosa, la probabilità di patta sia 0. Sia poi k la probabilità di patta se ambedue scelgono la strategia tranquilla. La tavola diventa:
| 1/2 | 0 | 1/2 |
| (1-K) /2 | K | (1-K) /2 |
| a | 0 | b |
| b | 0 | a |
dove, ovviamente, si dovrà supporre a (1-k)/2. In effetti nella loro prima sfida la situazione era invertita e si ebbe l'impressione che Karpov avesse scelto, non si sa se a torto o a ragione, perché non sappiamo stimare a, b, k, una strategia "rischiosa".
3. Un'applicazione della teoria di Von Neumann agli scacchi invisibili.
Si chiama gioco degli scacchi invisibili o "Kriegspiel" un gioco in cui si seguono le regole degli scacchi salvo per il fatto che i giocatori non conoscono l'uno le mosse dell'altro. All'inizio del gioco il Bianco fa una mossa su una sua scacchiera che l'avversario non vede ma viene bensì vista da un arbitro, che avvisa il Nero dicendo "il Bianco ha mosso". Analogamente muove il Nero ecc.. Se ad un certo punto una mossa risulta impossibile l'arbitro lo dice in modo da essere inteso da ambedue i giocatori. Altre informazioni che l'arbitro dà, (sempre ad ambedue i giocatori) se si danno le circostanze opportune, sono:
A dà scacco in verticale,
A da scacco in orizzontale,
A dà scacco sulla grande diagonale (relativamente al Re),
A dà scacco sulla piccola diagonale (relativamente al Re),
A dà scacco di cavallo,
A prende un pezzo in xy,
A prende un pedone in xy,
A ha una presa di pedone in xy,
A ha una doppia presa di pedone in xy (e una in zt ecc..),
A ha promosso (non si dice a che cosa ne in quale colonna) A ha dato matto,
A ha messo in stallo B.
